Achegándonos ao LHC

INICIO CERN LHC FÍSICA NO LHC DETECTORES MODELO ESTÁNDAR EDUCACIÓN LIGAZÓNS NOVAS E MÁIS GLOSARIO

NOVAS: Siga as novas...

 MOVEMENTO COMPLEXO
 

(A seguinte argumentación ten sido basicamente tomada de Baird S.  (2007).  “ACCELERATORS FOR PEDESTRIANS”, AB-Note-2007-014 OP, CERN February 2007).


A efectos de considerar os movementos do protón, debemos fundamentalmente considerar  no LHC os  imáns dipolares que aseguran a traxectoria circular, os imáns cuadrupolares que proporcionan a focalización transversal, e zonas de deriva libre (drift spaces).

Mentres os protóns se moven no acelerador, calquera que sexa a súa diverxencia que o afasta da traxectoria central serán redirixidos cara esa traxectoria por acción dos imáns cuadrupolares. Isto xera un movemento transversal dos protóns ademais do lonxitudinal.

Caracterizamos a posición do protón no seu movemento trasversal con dous parámetros: Posición ou desprazamento da traxectoria central (x), e o ángulo con respecto a esa mesma traxectoria (x’).

 

As oscilacións transversais son chamadas Oscilacións Betatrón, e existen tanto no plano horizontal e no vertical.

En primeira aproximación, podemos expresar esas oscilacións transversais en función do tempo:

d2x/dt2 + K·x = 0

onde K é a constante de forza tomada aquí como constante e independente de s .

Trátase da ecuación dun MHS coas coñecidas solucións:

x = A·cos (ω·t + φ)

x’ = dx/dt ,,     x’ = -Aω·sin (ω·t + φ)

A velocidade lonxitudinal do protón é constante:  v = s/t

Temos pois   t = s/v   →   dt = ds/v    e   dx/dt = v·dx/ds

Polo tanto podemos reescribir as solucións en función de s:


Con moitas parellas de valores (x,x’) medidos sobre moitas voltas podemos realizar a gráfica chamada espazo de fases: x vs x’.

En realidade o feixe consiste en moitas partículas con diferentes amplitudes A e diferentes fases φ. Se poidésemos distinguir e medir cada partícula individual a gráfica anterior poderían representar a unha partícula concreta despois de moitas voltas.

Pero a focalización producida polos cuadrupolos varía ao longo do acelerador. De feito onde non hai cuadrupolos non hai forza restauradora en absoluto (K = 0).

Debemos, pois, considerar K como función de s.

Escribimos entón a ecuación xeral para o movemento transversal:

d2x/ds2 + K(s)·x = 0

onde K(s) é agora función de “s” e por tanto xa non é constante. Esta ecuación é chamada  ecuación de Hills .

Para resolvela introducimos tres parámetros (ε,  β(s) and ψ(s)) que representan o comportamento do feixe en función das condicións iniciais (cadea de inxección) e  a intensidade focalizadora (cuadrupolos).

ε = emitancia transversal,  que é constante e depende das condicións iniciais

β(s) = modulación de amplitude, debido aos cambios na forza focalizadora

ψ(s) = o avance de fase, que tamén depende da intensidade focalizadora

Con estos parámetros podemos tomar como solución:

   (1)

φ é a fase matemática que depende das condicións iniciais.

A rapidez do cambio da fase ψ(s) destas oscilacións arredor do acelerador é proporcional ao inverso da amplitude de oscilación. É dicir:   dψ(s)/ds ~1/β(s)  (2)

Considerando (1) e (2), temos para o ángulo, x’, con x’ =dx/ds :

A seguinte figura do espazo de fases representa os valores x e x’ en varias voltas para unha partícula observada nunha determinada posición, s, sendo nese lugar β constante.


A emitancia transversal, ε, ten unidades de lonxitude (ou lonxitude x ángulo), e ven determinada unicamente polas condicións iniciais. Porén, cando nos movemos arredor do acelerador, β(s) varía e altera a forma da elipse, pero a área da elipse permanece constante ao longo do acelerador. En efecto a área depende de ε que como se indicou é función só das condicións iniciais.

Pero para sermos máis riguroso deberemos definir a emitancia dunha forma algo diferente. Se fósemos quen de observar todas as particulas nunha determinada posición nunha volta e medir tanto x e x', veríamos un gran número de puntos na gráfica do espacio de fases.

 

A emitancia é a área da elipse a cal contén unha certa porcentaxe de puntos ou partículas. Definimos unha “emitancia ao 95%" como o área da elipse que contén un “95%” de partículas, ou unha "emitancia ao 100%" como o área da elipse que contén a todas as partículas. Polo tanto cando falamos de emitancia transversal deberemos estar seguro da definición utilizada. A proxección desta elipse sobre o eixe xa  danos o tamaño da sección transversal do feixe. Polo tant a variará ao longo do acelerador segundo varíe o valor de β(s).

Da figura vemos que o tamaño transversal do feixe é:

Podemos ademais achegarnos á sección transversal do bunch facendo o cadrado do tamaño transversal do feixe:

sección transversal = 4 εβ

Se consideramos σ (tamaño medio transversal do bunch) a sección transversal é 4πσ2

Comparando as dúas últimas ecuacións podemos expresar  β en termos de σ e ε  :

 β = πσ2/ε

De particular importancia é o valor da función de amplitude no punto de interacción, β*. Obviamente este valor debe ser o máis pequeno posible, dependendo isto da capacidade do sistema de focalización nas proximidades do punto de interacción.


Outra importante clase de movemento é a chamada oscilación lonxitudinal. Pódese seguir unha explicación resumida aquí...



Inicio ...... 12

© Xabier Cid Vidal & Ramon Cid - rcid@lhc-closer.es  | SANTIAGO | Deseño orixinal de Gabriel Morales Rey