Relatividad

Acercándonos al LHC

En el LHC cada protón alcanza una energía de 7 TeV. Estamos, por tanto, en "territorio" de la Relatividad Especial.

Primero presentaremos algunos cálculos básicos, y despois haremos un breve desarrollo para la Energía de colisión utilizando la mecánica relativista.


Veamos el valor que toma el parámetro relativista γ (gamma) cuando el protón pose esa energía.

En este caso la expresión para la Energía cinética es:

Ek =γ·m0·c2 - m0·c2

o

Ek = m0·c2(γ-1)    (1)

La masa del protón es  938,3 MeV/c2 

Por tanto, m0·c2 = 9,383·10-4 TeV

La expresión (1):   7 TeV = 9,383·10-4 (γ-1)

 γ ~ 7460

Como es obvio  γ>>1 , por lo que estamos definitivamente en el "territorio" de la Relatividad Especial.

Podemos calcular la velocidad del protón asociada a esa energía: 

γ = 1/[1- (v/c)2]1/2 

con  γ = 7460      v = 0,999999991·c  
 
entonces:   v ~ c
 

El uso de unidades de energía para otras magnitudes es habitual en la Física de Altas Energías.

Así, la energía en reposo del protón es:

E0 =m0·c2         E0 = 1,67·10-27kg·(3·108m/s)2         E0 = 1,503·10-10 J     E0= 938,3 MeV

Dado que    m0 = E0/c2 , la masa en reposo del protón puede ser expresada como  m0= 938,3 MeV/c2
En unidades mas del LHC tenemos:    m0=0,0009383 TeV/c2
 

Aunque se trata de un concepto objeto de controversia conceptual, podemos también hablar de la “masa relativista” del protón acelerado hasta la energía de 7 TeV :

m = E/c2    m = 7 TeV/c2 
Comparemos este valor con el de la masa en reposo:  m0=0,0009383 TeV/c2  para visualizar el incremento experimentado.
También podemos considerar el valor del momento lineal do protón en términos relativistas:
 

E2 = (p·c)2 + E02           p·c = (E2 - E02)1/2 

p·c = (72 -  0,00093832)1/2           p ~ 7 TeV/c

Se trata de un importante parámetro del acelerador.


Energía en el sistema de referencia Centro-de-Momentos (COM frame).

Consideremos la colisión de dos partículas con energía, momento y masa en reposo (E1, p1, m1) , (E2, p2, m2) y un ángulo de incidencia ɵ.

 

La siguiente cantidad es un invariate (invariante de Lorentz):

s = (m1·c2)2 + (m2 c2)2 + 2(E1·E2 - 2·p1c·p2c·cosɵ)

siendo, c = velocidad de la luz

En Física de Partículas es más común usar las llamadas “undades naturales” (c = 1) . En este caso, tendremos:

s = (m1)2 + (m2)2 + 2(E1·E2 - 2·p1·p2·cosɵ)

El parámetro “s” es llamada "Mandelstam variable" y “√s” corresponde a la energía en el COM frame, que es la disponible para la producción de nuevas partículas como resultado de la colisión.


Blanco fijo vs Colisionador.

1.- Blanco fijo.

Sea  m1  la masa de la partícula proyectil y  m2  la masa de la partícula que es el blanco fijo.

Tenemos: p2 = 0  y  E2 = m2 c2 , in COM frame, and:

s = (m1·c2)2 + (m2·c2)2 + 2·E1· m2 c2

Tomando en cuenta que  E1 >> m1·c2 , m2 c2 ,  tenemos:

s ~ 2Emc2

y,     √s ~ √(2Emc2)

2.-Colisionador.

Masa   m1 y m2   en una colisión frontal (ɵ = 180º).

s = (m1·c2)2 + (m2 c2)2 + 2(E1·E2 + 2·p1c·p2c)

Teniendo en cuenta que  Ei >> mi·c2  y  Ei ~ pi·c , tendremos:

s ~ 2(E1·E+ E1·E2) à s ~ 4E1·E2

√s ~ 2√(EE2)

En el caso especial de partículas idénticas de igual momento, colisionando frontalmente (como es el caso del LHC), el COM frame está en reposo respecto al laboratorio, y:

s = (m·c2)2 + (m c2)2 + 2(E·E + 2·pc·pc)

s = 2(m·c2)2 + 2·E2 + 2(p·c)2 às = 4·E2

√s = 2·E

Por tanto, en el caso de colisiones p-p en el LHC, con 7 TeV por protón:

√s = 14 TeV

Esta es la energía disponible para la producción de partículas en las colisiones p-p en el LHC. 

Si quisiéramos conseguir la misma energía con un Blanco fijo, considerando un proton moviéndose con energía E1 colisionando con un blanco fijo formado por un protón en reposo (m2·c2 ~ 10-3 TeV),  el valor de  E1 debe ser:

√s ~ √(2Emc2)

14 = √(2E10-3)

E1 ~ 10TeV

Queda pues clara la ventaja de usar colisiones frontales frente a la alternativa del blanco fijo.

 


Otro cálculo que podemos llevar a cabo es el dell campo magnético presente en el acelerador de otra forma a lo hecho en otra sección:
Utilizando el bending radius (rb):

rb= 2804 m

 
Fcentripeta = Fmagnética            m·c2/rb = q·c·B
 

Con,     E = m·c2            B = E/(c·q·rb

y como   E = 7 TeV   ⇒  E =  1,12·10-6 J

B = 1,12·10-6/(3·108·1,602·10-19·2804)

B = 8,33 T
 

AUTORES


Xabier Cid Vidal, Doctor en Física de Partículas (experimental) por la Universidad de Santiago (USC). Research Fellow in experimental Particle Physics en el CERN, desde enero de 2013 a diciembre de 2015. Actualmente está en el Depto de Física de Partículas de la USC  ("Ramon y Cajal", Spanish Postdoctoral Senior Grants).

Ramon Cid Manzano, profesor de Fïsica y Química en el IES de SAR (Santiago - España), y Profesor Asociado en el Departamento de Didáctica de Ciencias Experimentales de la Facultad de Educación de la Universidad de Santiago (España). Es licenciado en Física y en Química, y Doctor por la Universidad de Santiago (USC).

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Toda la Bibliografía que ha sido consultada para esta Sección está indicada en la Sección de Referencias


© Xabier Cid Vidal & Ramon Cid - rcid@lhc-closer.es  | SANTIAGO (ESPAÑA) |

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