Relatividade

Achegándonos ao LHC

No LHC cada protón acada unha enerxía de 7 TeV. Estamos, logo, en "territorio" da Relatividade Especial.

Primeiro presentaremos algúns cálculos básicos e despois faremos un breve desenvolvemento para a Enerxía de colisión utilizando a mecánica relativista.


Veamos el valor que toma el parámetro relativista γ (gamma) cuando el protón pose esa energía.

Neste caso a expresión para a Enerxía cinética é:

Ek =γ·m0·c2 - m0·c2

ou

Ek = m0·c2(γ-1)    (1)

A masa do protón é  938,3 MeV/c2 

Polo tanto, m0·c2 = 9,383·10-4 TeV

A expresión (1):   7 TeV = 9,383·10-4 (γ-1)

 γ ~ 7460

Como é obvio  γ>>1 , polo que definitivamente estamos no "territorio" da Relatividade Especial.

Podemos calcular a velocidade do protón asociada a esa enerxía: 

γ = 1/[1- (v/c)2]1/2 

con    γ = 7460         v = 0,999999991·c  ,     logo:   v ~ c 
 

O uso de unidades de enerxía para outras magnitudes é habitual na Física de Altas Enerxías.

Así, a enerxía en repouso do protón é:

E0 =m0·c2         E0 = 1,67·10-27kg·(3·108m/s)2         E0 = 1,503·10-10 J

Dado que    m0 = E0/c2 , a masa en repouso do protón pode ser expresada como  m0= 938,3 MeV/c2
En unidades máis do LHC temos:      m0=0,0009383 TeV/c2

Aínda que se trata dun concepto obxecto de controversia conceptual, podemos tamén falar da chamada “masa relativista” do protón acelerado ata a enerxía de 7 TeV :

m = E/c2    m = 7 TeV/c2 

Comparemos este valor co da masa en repouso:  m0=0,0009383 TeV/c2  para ver o incremento experimentado.

Tamén podemos considerar o valor do momento lineal do protón en temos relativistas:
 

E2 = (p·c)2 + E02           p·c = (E2 - E02)1/2 

p·c = (72 -  0,00093832)1/2           p ~ 7 TeV/c

Trátase dun importante parámetro do acelerador.

Enerxía no sistema de referencia Centro-de-Momentos (COM frame).

Consideremos a colisión de dúa partículas con enerxía, momento e masa en repouso (E1, p1, m1) , (E2, p2, m2) e un ángulo de incidencia ɵ.

 

A seguinte cantidade é un invariate (invariante de Lorentz):

s = (m1·c2)2 + (m2 c2)2 + 2(E1·E2 - 2·p1c·p2c·cosɵ)

sendo, c = velocidade da luz

En Física de Partículas é máis común usar as chamadas “undades naturais” (c = 1) . Neste caso, teremos:

s = (m1)2 + (m2)2 + 2(E1·E2 - 2·p1·p2·cosɵ)

O parámetro “s” é coñecido como "Mandelstam variable" e “√s” corresponde á enerxía no COM frame, que é a dispoñible para a produción de novas partículas como resultado da colisión.


Branco fixo vs Colisor.

1.- Branco fixo.

Sea m1  a masa da partícula proxectil e  m2   a masa da partícula que é o branco fixo.

Temos: p2 = 0  y  E2 = m2 c2 , no COM frame, e:

s = (m1·c2)2 + (m2·c2)2 + 2·E1· m2 c2

Tomando en conta que  E1 >> m1·c2 , m2 c2 ,  temos:

s ~ 2Emc2

e,     √s ~ √(2Emc2)

2.-Colisor.

Masa   m1  e  m2   en colisión frontal (ɵ = 180º).

s = (m1·c2)2 + (m2 c2)2 + 2(E1·E2 + 2·p1c·p2c)

Tendo en conta que  Ei >> mi·c2  e  Ei ~ pi·c , teremos:

s ~ 2(E1·E+ E1·E2) à s ~ 4E1·E2

√s ~ 2√(EE2)

No caso especial de partículas idénticas de igual momento, colidindo frontalmente (como é o caso do LHC), o COM frame está en repouso respecto ao laboratorio, e:

s = (m·c2)2 + (m c2)2 + 2(E·E + 2·pc·pc)

s = 2(m·c2)2 + 2·E2 + 2(p·c)2 às = 4·E2

√s = 2·E

Polo tanto, no caso de colisións p-p no LHC, con 7 TeV por protón:

√s = 14 TeV

Esta é a enerxía dispoñible para a produción de partículas nas colisións p-p no LHC. 

Se quixésemos conseguir a mesma enerxía cun Branco fixo, considerando un proton movéndose con enerxía E1 colisidindo cun branco fijo formado por un protón en repouso (m2·c2 ~ 10-3 TeV),  o valor de  E1 debe ser:

√s ~ √(2Emc2)

14 = √(2E10-3)

E1 ~ 10TeV

Queda pois clara a vantaxe de usar colisións frontais fronte á alternativa do branco fixo.


 
Finalmente, calculamos o campo magnético presente no acelerador doutro xeito ao indicado noutra sección:
Utilizando o bending radius (rb):

rb= 2804 m

 
Fcentripeta = Fmagnética            m·c2/rb = q·c·B
 

Con,     E = m·c2            B = E/(c·q·rb)

e como   E = 7 TeV   ⇒  E =  1,12·10-6 J

temos:      B = 1,12·10-6/(3·108·1,602·10-19·2804)

B = 8,33 T

 

 
 

AUTORES


Xabier Cid Vidal, Doutor en Física de Partículas (experimental) pola USC. Research Fellow in experimental Particle Physics no CERN, desde xaneiro de 2013 a decembro de 2015. Actualmente está no Depto de Física de Partículas da USC  ("Ramon y Cajal", Spanish Postdoctoral Senior Grants).

Ramon Cid Manzano, profesor de Física e Química no IES de SAR de Santiago de Compostela, e Profesor Asociado no Departamento de Didáctica das Ciencias Experimentais da USC. É licenciado en Física e en Química, e é Doutor pola Universidade de Santiago (USC).

CERN


CERN WEBSITE

CERN Directory

CERN Experimental Program

Theoretical physics (TH)

CERN Physics Department

CERN Scientific Committees

CERN Structure

CERN and the Environment

LHC


LHC

Detector CMS

Detector ATLAS

Detector ALICE

Detector LHCb

Detector TOTEM

Detector LHCf

Detector MoEDAL

 


NOTA IMPORTANTE

Toda a Bibliografía que foi consultada para esta Sección está indicada na Sección de Referencias

 


© Xabier Cid Vidal & Ramon Cid - rcid@lhc-closer.es  | SANTIAGO |

···